Argument tangente hyperbolique - Math'φsics

Argument tangente hyperbolique

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition
Argument tangente hyperbolique : fonction réciproque de la fonction tangente hyperbolique
(Tangente hyperbolique)

Formules utiles

Equivalence
$${{\operatorname{Argth} x}} x}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$

Dérivée
$$({{\operatorname{argth}(x)}})^\prime={{\frac1{1-x^2} }}$$

Développement en série entière
$${{\operatorname{argth}(x)}}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{\frac{x^{2n+1} }{2n+1} }}$$

Réécriture avec des logarithmes
$${{\operatorname{argth}(x)}}={{\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}}$$

Montrer que $$\operatorname{argth}(x)=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$

Réécriture
$$=\frac12\left[\ln(1+x)-\ln(1-x)\right]$$

Expression avec des séries entières

$$\begin{align}\ln(1+x)&=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^n}n\\ \ln(1-x)&=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{x^n}n\end{align}\implies\frac12[\ln(1+x)-\ln(1-x)]=2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^{2n+1}}{2k+1}=2\operatorname{argth}(x)$$
Rétroliens :
- Tangente hyperbolique